考场上的完美答卷 (3/7)

 林澈几乎要拍桌子。他立刻在草稿纸上写：

    “构造函数$g(x)=e^{-x^2}f(x)$，$h(x)=e^{x^2}$。则$g(0)=0$，$h(0)=1$，且$g(x),h(x)$在$[0,1]$上满足柯西中值定理条件。故存在$\\xi\\in(0,1)$，使得

    $\\frac{g(1)-g(0)}{h(1)-h(0)}=\\frac{g'(\\xi)}{h'(\\xi)}$

    即$\\frac{e^{-1}f(1)}{e-1}=\\frac{e^{-\\xi^2}[f'(\\xi)-2\\xi f(\\xi)]}{2\\xi e^{\\xi^2}}$

    化简得$f'(\\xi)-2\\xi f(\\xi)=\\frac{2\\xi e^{2\\xi^2-1}}{e-1}f(1)$”

    还是不对，右边仍有$f(1)$。

    林澈感到额头渗出细汗。记忆就像隔着一层毛玻璃，能看到轮廓但看不清细节。他确定赵建国讲过这道题，确定答案用到了柯西中值定理，但具体怎么消去$f(1)$……

    “还有三十分钟。”赵建国的声音响起。

    教室里一阵骚动。时间压力开始显现。

    林澈强迫自己冷静。他盯着题目，一个字一个字地读：设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$。

    已知条件只有这些。要证明存在$\\xi\\in(0,1)$，使得$f'(\\xi)=2\\xi f(\\xi)$。

    这意味着，无论$f(1)$是多少，总能找到这样的$\\xi$。

    一个想法突然冒出来：如果对任意的$f(1)$都能找到$\\xi$，那么特别地，取$f(1)=0$时，由罗尔定理立即得证。但$f(1)$不一定为零……

    等等，可以构造一个新函数！

    林澈的笔尖在纸上疾书：

    “考虑函数$\\varphi(x)=f(x)-\\frac{f(1)}{e-1}(e^{x^2}-1)$。则$\\varphi(0)=0$，$\\varphi(1)=f(1)-\\frac{f(1)}{e-1}(e-1)=0$。

    对$\\varphi(x)$应用罗尔定理，存在$\\xi\\in(0,1)$，使得$\\varphi'(\\xi)=0$。

    而$\\varphi'(x)=f'(x)-\\frac{2xf(1)}{e-1}e^{x^2}$

    故$f'(\\xi)=\\frac{2\\xi f(1)}{e-1}e^{\\xi^2}$

    又由$\\varphi(\\xi)=0$得$f(\\xi)=\\frac{f(1)}{e-1}(e^{\\xi^2}-1)$

    两式消去$f(1)$，得$f'(\\xi)=2\\xi f(\\xi)$。证毕。”

    写完最后一个**，林澈长长舒了口气。

    他知道这不是标准答案，但逻辑严密，

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