考场上的完美答卷 (4/7)

自洽。而且，这个解法展现了他对数学工具的灵活运用——构造辅助函数，利用罗尔定理，然后消去参数。

    他抬头看钟，考试开始四十分钟。教室里大部分人还在挣扎，前排的学霸张涛眉头紧锁，显然也被最后一题难住了。苏雨薇在检查卷子，但眼神有些飘忽。

    林澈开始从头检查。

    第一题，$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sin3x}{\\tan5x}$。他盯着那个$\\frac{3}{5}$，那种不对劲的感觉又来了。他重新计算：$\\sin3x\\sim3x$，$\\tan5x\\sim5x$，所以极限是$\\frac{3x}{5x}=\\frac{3}{5}$。

    但$\\tan5x$在$x\\to0$时等价于$5x$吗？$\\tan\\theta\\sim\\theta$当$\\theta\\to0$，这里$\\theta=5x\\to0$，没错。

    可是……林澈闭上眼睛，前世赵建国讲解这道题的声音在脑中回响：“很多同学直接用了等价无穷小，但要注意，$\\tan5x$在$x\\to0$时确实是$5x$的高阶无穷小吗？我们严格计算一下……”

    对了！赵建国当时强调了不能直接用等价无穷小，因为分子分母是加减关系？不，这里是乘除，可以用。

    但教授说：“这道题我特意设计了一个陷阱，$\\tan5x$在$x\\to0$时等价于$5x$，但$\\sin3x$等价于$3x$，所以答案是$\\frac{3}{5}$——如果你这么想，就掉坑里了。因为$\\tan5x=5x+\\frac{125}{3}x^3+O(x^5)$，展开到三阶项会影响结果吗？我们算一下……”

    林澈的笔在草稿纸上飞快运算：

    $\\sin3x=3x-\\frac{27}{6}x^3+O(x^5)=3x-\\frac{9}{2}x^3+O(x^5)$

    $\\tan5x=5x+\\frac{125}{3}x^3+O(x^5)$

    所以$\\frac{\\sin3x}{\\tan5x}=\\frac{3x-\\frac{9}{2}x^3+O(x^5)}{5x+\\frac{125}{3}x^3+O(x^5)}=\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{1-\\frac{3}{2}x^2+O(x^4)}{1+\\frac{25}{3}x^2+O(x^4)}$

    当$x\\to0$时，这确实趋于$\\frac{3}{5}$。所以答案没错。

    但为什么教授要强调“陷阱”？

    林澈突然明白了。教授是在说，虽然答案正确，但直接用等价无穷小的理由不够严谨，因为严格来说需要验证余项不影响极限。但作为一道选择题或者填空题，直接写$\\frac{3}{5}$可以得分。作为计算题，可能需要写一两句说明。

    他决定保持原答案。

    检查完所有题目，时间还剩十五分钟。林澈放下笔，看向窗外。梧桐树的叶子在风中翻动，阳光在叶片间跳跃。他忽然想起前世考完这场试后，自己垂头丧气地去网吧打了一下午游戏，因为感觉又要挂科。

    这一次，完全不同了。

    “时间到，停笔。”

    赵建国的声音响起。教室里响起一片如释重负的叹息，夹杂着几声哀嚎。林澈看着教授走下讲台，一张张收卷子。

   &nbs

本章未完，请点击下一页继续阅读