考场上的完美答卷 (2/7)

教室里所有人。笔尖划过纸张的声音稳定而密集，像精密的机械在运转。前排的苏雨薇回头看了他一眼，眼神里有点惊讶。

    第四题，微分方程。$y''-3y'+2y=e^{2x}$

    特征方程$r^2-3r+2=0$，根$r_1=1,r_2=2$。特解形式应为$Axe^{2x}$，代入得$A=1$。通解$y=C_1e^x+C_2e^{2x}+xe^{2x}$。

    一气呵成。

    第五题，空间解析几何。求过点$(1,2,3)$且与平面$x+y+z=1$垂直的直线方程。

    方向向量即为平面法向量$(1,1,1)$，直线方程$\\frac{x-1}{1}=\\frac{y-2}{1}=\\frac{z-3}{1}$。

    林澈写完这题时，考试才过去十五分钟。大部分同学还在做第二题。

    他放下笔，活动了一下手腕。窗外的阳光更亮了，照在试卷上有些反光。他侧过身，让阳光避开视线，这个动作引起了赵建国的注意。

    教授从讲台走下来，皮鞋底敲击瓷砖地面的声音在安静的教室里格外清晰。他先是在过道里慢慢巡视，经过林澈身边时，目光在几乎写满的试卷上停留了两秒。

    然后又绕回来。

    这次他停在林澈桌边，弯腰看他的答题纸。

    林澈能闻到教授身上淡淡的粉笔灰和旧书混合的味道。赵建国看了大概十秒钟，什么也没说，直起身继续巡视。但林澈注意到，教授走回讲台的步伐比刚才快了一些。

    第六题，级数收敛性。$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{n!}{n^n}$

    用比值判别法，$\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{a_{n+1}}{a_n}=\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\\cdot\\frac{n^n}{n!}=\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{n+1}{n+1}\\cdot(\\frac{n}{n+1})^n=\\frac{1}{e}0$，$g(x)$严格递增，$g(1)>g(0)=0$，即$e^{-1}f(1)>0$，$f(1)>0$，这有可能成立，不矛盾。

    所以不能直接证明。

    他闭上眼睛，深呼吸。考场上的空气混着纸墨和汗水的味道。前世那些熬夜复习的夜晚在脑中浮现——他在图书馆抄过这道题的答案，赵建国在黑板上讲过……

    构造函数$F(x)=e^{-x^2}f(x)$，然后……然后要用罗尔定理！因为$F(0)=0$，还需要另一个零点才能用罗尔定理。但题目只给了$f(0)=0$，没给$f(1)=0$。

    除非——

    林澈睁开眼睛。

    除非$f(1)$恰好等于某个值，使得$F(1)=F(0)$？不对，那太巧合了。

    他的目光落在试卷的题号上：“七、证明题（15分）”。记忆的闸门突然打开：前世考完后，赵建国在讲解时说：“这道题的关键是构造辅助函数$g(x)=e^{-x^2}f(x)$，然后对$g(x)$应用柯西中值定理，取另一个函数为$h(x)=e^{x^2}$……”

    对了！

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