考场上的完美答卷 (1/7)

　　    早晨七点五十分，高数教室。

    林澈坐在第三排靠窗的位置，阳光斜照在摊开的空白草稿纸上，泛起一层毛茸茸的金边。教室里弥漫着考试前特有的紧张气息——翻书声、窃窃私语声、笔尖划纸声，还有前排女生拧开风油精的清脆声响。

    他低头看着试卷。

    《高等数学A（1）第一次月考》，题头印刷着宋体字。前世，这张卷子他得了61分，擦线及格，主要失分在最后两道证明题。他还记得赵建国教授批改时用红笔写的评语：“思路混乱，基础不牢，建议课后多练习。”

    这一次，他要写一个完全不同的故事。

    “考试开始。”

    讲台上，监考的赵建国教授推了推老花镜，声音沉稳。他是系里有名的严师，五十多岁，头发花白但梳得整齐，中山装熨烫得一丝不苟。

    林澈拿起笔。

    第一题，求极限。$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sin3x}{\\tan5x}$

    前世他用了洛必达法则，计算过程中漏了一个系数，得出了$\\frac{3}{5}$的错误答案。正确答案应该是$\\frac{3}{5}$……不，等等。

    林澈的笔尖停顿了。

    记忆告诉他答案是$\\frac{3}{5}$，但直觉在报警。他闭上眼睛，七年前的记忆像老照片一样在脑中展开——他记得考完对答案时，学霸张涛说第一题是$\\frac{3}{5}$，但第二天赵建国讲解时，说正确答案是$\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{\\cos0}{\\cos0}$……不对，$\\tan5x$在$x\\to0$时等价于$5x$，$\\sin3x$等价于$3x$，所以——

    笔尖落下：$\\frac{3}{5}$。

    写完后，林澈盯着那个数字看了三秒。有什么地方不对劲。他看向窗外，梧桐树的影子在地上轻轻摇晃。记忆和直觉在打架。

    “同学，专心答题。”赵建国的声音从讲台传来。

    林澈收回目光，继续往下做。

    第二题，求导数。$y=\\ln(\\sqrt{x^2+1}+x)$

    这道题前世他做对了，但步骤繁琐。现在他一眼看出可以直接用双曲函数性质简化：这其实就是$\\operatorname{arsinh}x$的导数，等于$\\frac{1}{\\sqrt{x^2+1}}$。

    他在草稿纸上写下标准解法，然后在旁边用更小的字写了一行：“另解：由$y=\\operatorname{arsinh}x$直接得。”

    第三题，定积分。$\\int_0^{\\pi\/2}\\frac{\\sin x}{1+\\cos x}dx$

    前世他用了万能公式代换，算了半页纸，最后还算错。现在他看到被积函数可以写成$\\frac{\\sin x}{1+\\cos x}=\\tan\\frac{x}{2}$，而$\\tan\\frac{x}{2}$的原函数是$-2\\ln|\\cos\\frac{x}{2}|$。

    三十秒，答案：$\\ln2$。

    做到这里，林澈的速度明显超过了

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