第054章：数理争锋：智破天堑气自华 (4/5)

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    他笔走龙蛇：f′(x)=3x平方−3=3(x−1)(x+1)。令 f′(x)=0，得 x=±1。列表分析，得：f(x)在 (−∞,−1)和 (1,+∞)上单调递增，在 (−1,1)上单调递减。

    极大值 f(−1)=2，极小值 f(1)=−2。

    顺利完成。

    （2）方程 f(x)=k有三不等实根，求 k范围。

    “方程根的问题，转化为函数图像交点！”

    他立刻想到 “数形结合”。

    y=f(x)的图像是“N”型曲线，y=k是水平线。

    要有三个交点，水平线必须介于极大值与极小值之间！

    即 −2

    他严谨地在答案上注明：

    “当且仅当 k∈(−2,2)时，方程有三个不等的实根。”

    （3）求证：x1+x2+x3=0。

    这是本题难点，也是区分度所在！

    直接解方程求根再相加？

    根本行不通！

    三次方程求根公式复杂且不在要求范围内。

    “怎么办？”

    林怀安眉头微蹙，大脑飞速运转。

    他想起韦达定理！

    但韦达定理适用于所有根？

    对！

    对于一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0，三根之和 x1+x2+x3=−b\/a！

    他眼前一亮！

    方程 f(x)=k即 x3−3x−k=0！

    这里 a=1, b=0！

    所以 x1+x2+x3=−b\/a=0！

    竟然如此简洁！

    他几乎要拍案叫绝！

    关键在于将原方程进行移项，化为标准三次方程，并注意到二次项系数为0！

    这需要对韦达定理的深刻理解和敏锐的观察力！

    他强压心中激动，在答卷上工整书写：

    “证明：方程 f(x)=k可化为 x立方−3x−k=0。

    设其三根为 x1,x2,x3。

    由韦达定理，x1+x2+x3=−10=0。

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