第259章 研讨班 (2/4)

讨论的主题是‘具退化或奇异系数的非线性椭圆型方程的正则性理’。”

    没有给同学们反应的时间，陈辉就继续说道，仿佛迟到只是一件无足轻重的事情。

    说着陈辉已经在黑板上优雅地回顾完几个经典结果，比如De Giorgi-Nash-Moser理论在特定退化情形下的推广，并提出了一个自己近期思考的、关于某类强退化拟线性方程整体Holder估计的新思路框架。

    放下粉笔，陈辉看向研讨室中的学生们，接下来，他准备将舞台交给这些天才的大脑们。

    “陈教授，感谢您精彩的概述，我对您框架中处理退化点附近振荡项的策略很感兴趣，具体来说，在您引理3.1的关键估计中，您使用了经过巧妙加权的Morrey空间嵌入来吸收非线性项的高阶扰动。”

    这时，坐在后排的一个俄罗斯少女站起身来，她语速平缓，但问题像手术刀般精准，“然而，我注意到您在推导不等式3.7时，似乎默认了退化权重函数ω(x)在奇异集S的某个邻域内满足某种几乎单调性。”

    她停顿了一下，目光扫过黑板上的公式，然后直视陈辉，一双淡蓝色的眼睛如同刺骨的冰刀向陈辉射来，“我的问题是，对于您考虑的那类高度振荡、甚至在S上可能具有分形结构的退化系数ω(x)，这种几乎单调性假设是否普遍成立？

    如果存在一个反例，使得ω(x)在任意接近S的点集上剧烈震荡，破坏了这种单调性，您引理3.1的核心估计是否会崩溃？

    进而，您整个Holder连续性证明的根基是否会被动摇？”

    研讨室瞬间安静下来，只剩下窗外的雨声，其他学生也纷纷点头或露出深思的表情。

    陈辉开心的笑了起来，他脸上没有丝毫慌乱或被冒犯的神情，反而露出了一个更加明亮、近乎兴奋的微笑，“抱歉，请问你叫什么名字？”

    “埃琳娜。”

    女孩直视陈辉，嘴唇饱满而苍白，仿佛被雪原的寒风吻过，哪怕只是简单的一句话，都带这些倔强的味道。

    “Excellent question， Elena. Truly excellent！”

    陈辉的语气真诚而带着赞赏，埃琳娜的问题并非吹毛求疵，而是直指陈辉方法中一个潜在的、极其隐蔽的脆弱环节——一个在光滑或温和退化情形下可能被忽略，但必须被拷问的“魔鬼细节”。

    这问题水平极高，显示出她对PDE正则性理论的深刻理解和敏锐的批判性思维。

    陈辉转身面对黑板，拿起一支蓝色粉笔，在埃琳娜指出的不等式(3.7)旁边画了一个圈。

    “你抓住了要害，这个几乎单调性的观察非常敏锐，是的，在我的初步推导中，这个假设是隐含的，并且它确实依赖于ω(x)在退化集附近行为不能‘过于病态’。”

    他没有辩解，而是坦然承认了假设的存在，接着，他的语调陡然变得更具洞察力和启发性，“但是，让我们思考一下，为什么我们需要这个几乎单调性？

    它的本质作用是什么？”

    陈辉自问自答，粉笔在黑板上快速移动，不再是推导，而是勾勒思想的脉络，“它本质上是为了控制加权Morrey范数下，非线性扰动项在尺度变化过程中的行为！

    具体来说，是为了保证当我们进行标准的迭代缩放过程以证明Holder连续性时，那个讨厌的非线性项不会因为

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