第21章 无名之辈的理论力学 (2/5)

p; 大巴车驶上高速，将身后那座熟悉的小县城甩得越来越远。

    车上那个小小的车载电视，正在用VCD播放着画质模糊的、周星驰的《功夫》。

    因为路途颠簸，时不时卡顿一下，发出“咔咔”的声响。

    车厢里，像一个微缩的生态系统。

    前排是物理组的梁立峰等人，正襟危坐，压低声音讨论着某个电磁感应模型。

    后排的数学组明显更活跃，有人分享着一包“浪味仙”，有人用同一个耳机听周杰伦刚发布不久的《东风破》。

    秦雅犹豫了很久，才抱着她那本被翻得起了毛边、做了无数标记的数学练习册，坐到了林允宁旁边的空位上。

    她紧张地攥着书角，几次想开口，却又把话咽了回去。

    是林允宁先注意到了她的窘迫。

    他瞥了一眼她书上那道用红笔圈了好几遍的组合数学题目。

    【n是正整数，n=x1+x2+x3+...+xk，有多少个非负整数解？】

    排列组合的经典问题。

    林允宁随口道：

    “这题卡住了？”

    秦雅如同受惊的小白兔般点了点头，声音细若蚊蚋：

    “没有，我用‘隔板法’做的，但是书上还提了‘生成函数’的方法，可没给出步骤，我查了一些资料，都没太看懂……”

    她的声音很小，带着一丝不确定的请教。

    林允宁看着她那本写满了工整笔记、却因为反复翻看而显得破旧的练习册，想起了巷尾灯下那个坚韧的身影。

    他难得地耐心起来，想了想，举了个例子说道：

    “你别把它当数学概念。你把它想象成一个‘自动打包机’……”

    说着，他从练习册上撕下一条空白的页边，在上面画了一个简单的方框代表机器，“你看，隔板法，是你自己在仓库里，面对一堆货物（n），用隔板（k-1）把它们分成k份，然后满头大汗地去数有多少种分法，对吧？”

    秦雅下意识地点点头。

    “这是笨方法，有用，但是费劲儿。”

    林允宁的笔尖在纸上划过，“生成函数是直接给这部打包机写程序。你告诉它，每种货物（比如x₁），你可以不拿（x⁰=1），拿一个（x¹），拿两个（x²），一直到拿n个。所以，每种货物对应的‘可能性程序’就是(1+x+x²+...+xⁿ)。

    “我们有k种货物，就是k个这样的程序相乘，组成一个总程序 G(x)=(1+x+x²+...+xⁿ)ᵏ。这部打包机‘嗡’地一运行，就吐出了这个函数。

    “这个函数本身不重要，重要的是它的‘说明书’——也就是展开后，xⁿ那一项的系数。那个系数，已经帮你把所有‘加起来等于n’的可能性，全都自动算好，打包列出来了。懂了吗？

    “隔板法是体力活，生成函数是脑力活。”

    这番讲解，如同打开了一扇新世界的大门。

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