第4章 我怎么会没想到呢？ (1/3)

　　    “命题1.1：设 J:ℝ^d→ℝ是 m-强凸(m > 0)且 L-光滑(L <∞)的函数。考虑经典过阻尼 Langevin扩散： dX_t =-∇J(X_t)dt +σ dB_t， X_0 = x₀其中 B_t是标准 d-维 Brownian运动……”

    这的确不是论文，没有标题、目录、没有引言跟导语，格式也跟规范不沾边，而且手机拍摄的手稿照片看起来也不太方便。

    但却让苏志坚看得无比认真，比看他正经学生提交的正经论文还认真。

    此刻，苏志坚的办公室里安静到落针可闻。

    直接看到第一个结论，苏志坚才抬头看了眼已经坐在他对面似乎在发呆的乔源。

    “……结合 b的全局 Lipschitz性，SDE有唯一强解，且由Harris定理，存在唯一不变概率测度μ_σ。

    其密度由Fokker-Planck方程稳态解给出：0 =∇·[∇J(x)μ_σ(x)]+(σ²\/2)Δμ_σ(x)直接验证μ_σ(x)= Z^{-1} exp(-2J(x)\/σ²)(Z是归一化常数)是解。”

    创造性的漂移项性质，扩散项选取，以及Lyapunov函数构造，利用J的强凸性和光滑性，解决了指数遍历性问题。

    苏志坚稳了稳心神，收回目光，开始看向收敛性证明。

    这一块乔源利用的耦合方法跟泛函不等式。

    “令 Z_t = X_t^x - X_t^y。则 dZ_t =-[∇J(X_t^x)-∇J(X_t^y)]dt……”

    “呼……”

    看完第二部分后，苏志坚长出了口气。

    原因无他，接连两个部分，他粗看之下竟然没找出什么问题。

    虽然格式很糟糕，或者说看不出格式，但证明思路非常严谨。

    除去一些证明过程被跳了过去外，当然这对浸淫这个问题许久的苏志坚来说，绝大部分跳过的证明过程，他都能脑补上。

    小部分可能需要跟乔源探讨……

    苏志坚忍不住再次抬头看了眼坐在对面的孩子，有那么一瞬间，他开始怀疑这小子的本科生身份。

    他是早就知道乔源极有数学天赋的，但打死他都没想到这天赋能高到这个份儿上！

    接下来是最重要的收敛速率共振跟共振现象显现问题的处理了。

    苏志坚收敛了心神，再次翻动起手机图片……

    因为看得仔细，这次耗时也很长，大概半个小时后，苏志坚终于看到了结论。

    “对固定精度δ，存在最优噪声强度σ*=\\sqrt{2δ\/ d}，使得达到精度δ的时间最短。共振发生！σ*随δ减小而减小(δ→ 0⇒σ*→ 0)。”

    此时的苏志坚大脑一片空白。

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