第118章 突然释怀的笑了 (3/3)

; 所以题目要求的不等式就是a2-b2，同时a(i+1)-b(i+1)=(ai)^i -(bi)^i=(ai-bi)(ai^(i-1)+ai^(i-2)bi+……+aibi^(i-2)+bi^(i-1))

    (ai)^i -(bi)^i的幂次展开是有现成公式的，任何一个高中生都应该记得这个展开，同时因为幂次展开后面的式子是有规律的，所以可以将它记作Cn。

    所以有，

    a3-b3=(a2-b2)c2

    a4-b4=(a3-b3)c3

    ……

    a(n+1)-b(n+1)=(an-bn)cn

    将式子两边相乘，约去相同的项，就能得到a(n+1)-b(n+1)=(a2-b2)(c2*c3……cn)，所以(a2-b2)=[a(n+1)-b(n+1)]\/(c2·c3……cn)。

    而a(n+1)-b(n+1)=(an)^n -(bn)^n，所以a(n+1)-b(n+1)=(a2)^(n*n-1……3*2)-(b2)^(n*n-1……3*2)=(n+1)√(n+1)

    最后再来处理Cn。

    这种式子，李泽翰根本不用思考就能知道需要用到放缩。

    因为an>bn≥n√n=n^(1\/n)

    所以an^(n-1)+an^(n-2)bn+……+anbn^(n-2)+bn^(n-1)式子中每一项都大于等于n^((n-1)\/n)，而Cn有n项，所以cn≥n*n^((n-1)\/n)>n*n^((n-1)\/(n+1))。

    这时再回到刚才的式子，c2*c3……cn=n!*（一坨），当n>2时，n^((n-1)\/(n+1))都是大于1的，所以可以只保留第n项，即c2*c3……cn=n!*n^((n-1)\/(n+1))。

    所以，a2-b22时，前面的式子小于2n\/n^2

本章完